角的平分线的性质定理四个要点｜含典型例题解析
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欧几里得在《几何原本》中对角如此描述：两条直线相交，如果不重合的话，一条直线相对于另一条直线的倾斜度叫角。由此我们可以理解角是对两条直线关系的刻画，本质是两条边张开幅度的大小。也可以理解为是线绕一个点旋转的动态呈情况。
来看知识要点
要点一、角的平分线的性质
1.角的平分线上的点到角两边的距离相等。
2.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理为：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。
要点二、角的平分线的逆定理
1.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求。
要点四、四种常考轨迹
1.把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹。
2.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.
3.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
4.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.
来看例题精讲
类型一、角的平分线的性质及判定
例1、已知：如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE＝AF．
解析：
总结：先由角平分线的性质得出DE＝DF，再证ΔAED≌ΔAFD，即可得出AE＝AF.分析已知，寻找条件，顺次证明．
试一试：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中，DB=DC且DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
例2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
【答案】 B；
总结：本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的 面积来表示△EDF面积.
例3、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．
类型二、角的平分线的性质综合应用
类型三、点的轨迹
例5、到直线的距离等于2的点的轨迹是（）
A．半径为2的圆
B．与l平行且到l的距离等于2的一条直线
C．与l平行且到l的距离等于2的两条直线
D．与l垂直的一条直线
【答案】C；到直线距离相等的点的集合是它的平行线，因为在直线两侧都可以做，所以有两条这样的直线．
总结：本题考查两平行线间的距离，两条这样的直线可能有些同学考虑不到，导致误选B．
最后来看下测试题：
